math: 集合と群 (1)

2025/05/15

昨日の続き。

集合

こちらを読んでいる。

• 集合から群まで(PDF)

「2乗して 2 になる数は有理数ではないこと」。
√2 が有理数、つまり整数の割り算の結果(ゼロ以外)では表せないということのはずだ。
なんでだ？ なんでだ？？

ChatGPTに聞いた。
背理法で矛盾する、から、か。 値が一致しないとかではなく、整数の割り算なんだから a / b はそれぞれが互いに素であるという仮定が成り立たなくなったため、というのは意表を突かれた。 学校で勉強していたときの私はこういうのを解くことができたんだろうか。。。

まあいい、思いつかなくても理解はできた。

そして一気に複素数まで話を広げている。
複素数って、私にとっては座標を扱うときに使うもの、という気持ちになる。
電気系は電気系で使っていたと思うのだが、もう記憶に全くない。 フーリエ変換とかも当時は「おお便利」と思っていたのだが、今では何を便利と思ったのかすら覚えていない。
まあ、忘却によって何か助けられたこともあるはずだ、と思っておこう。

「n次方程式の解は必ず複素数の範囲で表すことができる」ということに、 そういう見方をしたことはなかったと感銘のような感情を持った。
n次方程式なんて自力で解くことなんてないのにね。。。

しかし、複素数の範囲のさらに奥があるんだろうか？
1.2章に載っているのがたぶん範囲が狭い順なんだと思う。 それなら最後が複素数なので、それが最後？ 無限とかそういうのは複素数の範囲より広そうだ。 でも ∞＝∞＋∞、みたいなのをどこかで見た気がする。 偶数の無限大までの集合は無限大の範囲と同じ、だったっけ。

ChatGPT に聞くと、i だけじゃなく j, k まで加わった集合とかいろいろ教えてくれた。 本当かどうかは確認していないが、概念上はあってもおかしくないのでたぶんあるだろう。

その後、2次方程式の解の公式くらいは思い出せるだろう、とやってみたが惜しかった(つまり間違えた)。
ならば解の公式を自分で求めることはできるだろうとがんばってみたがダメで、答を見て「その方法に行き着くとは！」と感動したのであった。